Επίλυση n^2+5n=500

$$n ^ { 2 } + 5 n = 500$$

Λύση ως προς n

$$n=-25$$

$$n=20$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 500 και από τις δύο πλευρές.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε n^{2}+5n-500 χρησιμοποιώντας τον τύπο n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=-500$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-20 b=25$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(n+a\right)\left(n+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-20=0 και n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 500 και από τις δύο πλευρές.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn-500. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=1\left(-500\right)=-500$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-20 b=25$$

Γράψτε πάλι το n^{2}+5n-500 ως \left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right).

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 25 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(n-20\right)+25\left(n-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-20 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-20=0 και n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n^{2}+5n=500$$

Αφαιρέστε 500 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n^{2}+5n-500=500-500$$

Η αφαίρεση του 500 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 5 και το c με -500 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-500\right)}}{2}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-500\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -500.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+2000}}{2}$$

Προσθέστε το 25 και το 2000.

$$n=\frac{-5±\sqrt{2025}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2025.

$$n=\frac{-5±45}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-5±45}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 45.

$$n=\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το 40 με το 2.

$$n=20$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-5±45}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 45 από -5.

$$n=-\frac{50}{2}$$

Διαιρέστε το -50 με το 2.

$$n=-25$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=20 n=-25$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+5n=500$$

Διαιρέστε το 5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}+5n+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 500 και το \frac{25}{4}.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

Παραγον n^{2}+5n+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} n+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=20 n=-25$$