Επίλυση g(p)=-60p^2+50p+10

$$g ( p ) = - 60 p ^ { 2 } + 50 p + 10$$

Παράγοντας

$$10\left(1-p\right)\left(6p+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 10.

$$10\left(-6p^{2}+5p+1\right)$$

Υπολογίστε -6p^{2}+5p+1. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -6p^{2}+ap+bp+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=-6=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$-1,6 -2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=6 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -6p^{2}+5p+1 ως \left(-6p^{2}+6p\right)+\left(-p+1\right).

$$\left(-6p^{2}+6p\right)+\left(-p+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 6p στην εξίσωση -6p^{2}+6p.

$$6p\left(-p+1\right)-p+1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -p+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-p+1\right)\left(6p+1\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$10\left(-p+1\right)\left(6p+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-60p^{2}+50p+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$p=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-60\right)\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

Υψώστε το 50 στο τετράγωνο.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-60\right)\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -60.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500+240\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 240 επί 10.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500+2400}}{2\left(-60\right)}$$

Προσθέστε το 2500 και το 2400.

$$p=\frac{-50±\sqrt{4900}}{2\left(-60\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4900.

$$p=\frac{-50±70}{2\left(-60\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -60.

$$p=\frac{-50±70}{-120}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{-50±70}{-120} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -50 και το 70.

$$p=\frac{20}{-120}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{-120} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 20.

$$p=-\frac{1}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{-50±70}{-120} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 70 από -50.

$$p=-\frac{120}{-120}$$

Διαιρέστε το -120 με το -120.

$$p=1$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{1}{6} με το x_{1} και το 1 με το x_{2}.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\left(p-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)\left(p-1\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\left(p+\frac{1}{6}\right)\left(p-1\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{6} και το p βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\times \frac{-6p-1}{-6}\left(p-1\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε -60 και 6.

$$-60p^{2}+50p+10=10\left(-6p-1\right)\left(p-1\right)$$

Υπολογισμός

$$10+50p-60p^{2}$$