Επίλυση f(x)=x^4-29x^2+100

$$f ( x ) = x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

Παράγοντας

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Για να παραγοντοποιήστε την παράσταση, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή 100 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=2$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{4}-29x^{2}+100 με το x-2 για να λάβετε x^{3}+2x^{2}-25x-50. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

Από τη ρητών ρίζας θεώρημα, όλες οι ρητών ρίζες ενός πολυωνύμου βρίσκονται στη \frac{p}{q} φόρμας, όπου p διαιρείται τη σταθερή -50 όρων και q διαιρείται τον αρχικό συντελεστή 1. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$x=-2$$

Κατά παράγοντα θεώρημα, x-k είναι ένας συντελεστής του πολυωνύμου για κάθε ριζικό k. Διαιρέστε το x^{3}+2x^{2}-25x-50 με το x+2 για να λάβετε x^{2}-25. Για να παραγοντοποιήστε το αποτέλεσμα, λύσετε την εξίσωση όπου ισούται με 0.

$$x^{2}-25=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, 0 για b και -25 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x^{2}-25=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=-5 x=5$$

Γράψτε ξανά την παραγοντοποιημένη παράσταση χρησιμοποιώντας τις ρίζες που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$x^{4}-29x^{2}+100$$