Επίλυση f(x)=6x-2x^2+20

$$f ( x ) = 6 x - 2 x ^ { 2 } + 20$$

Παράγοντας

$$-2\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 2.

$$2\left(3x-x^{2}+10\right)$$

Υπολογίστε 3x-x^{2}+10. Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+3x+10$$

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=5 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+3x+10 ως \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$2\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 36 και το 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$x=\frac{-6±14}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-6±14}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±14}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 14.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Διαιρέστε το 8 με το -4.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±14}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -6.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Διαιρέστε το -20 με το -4.

$$x=5$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -2 με το x_{1} και το 5 με το x_{2}.

$$-2x^{2}+6x+20=-2\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-5\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$-2x^{2}+6x+20=-2\left(x+2\right)\left(x-5\right)$$

Υπολογισμός

$$-2\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$