Επίλυση f(x)=2x^2+3x-5

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x - 5$$

Παράγοντας

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-2 b=5$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+3x-5 ως \left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 9 και το 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-3±7}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±7}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Διαιρέστε το 4 με το 4.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±7}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -3.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$2x^{2}+3x-5=2\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$2x^{2}+3x-5=2\left(x-1\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$2x^{2}+3x-5=2\left(x-1\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 2 και 2.

$$2x^{2}+3x-5=\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$