Επίλυση f(x)=-20x^2+23x-6?

$$f ( x ) = - 20 x ^ { 2 } + 23 x - 6 ?$$

Παράγοντας

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -20x^{2}+ax+bx-6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=23 ab=-20\left(-6\right)=120$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 23.

$$a=15 b=8$$

Γράψτε πάλι το -20x^{2}+23x-6 ως \left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right).

$$\left(-20x^{2}+15x\right)+\left(8x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε -5x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-5x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-3\right)\left(-5x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-20x^{2}+23x-6=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Υψώστε το 23 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\left(-20\right)\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -20.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+80\left(-6\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 80 επί -6.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\left(-20\right)}$$

Προσθέστε το 529 και το -480.

$$x=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\left(-20\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-23±7}{2\left(-20\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -20.

$$x=\frac{-23±7}{-40}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-23±7}{-40} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -23 και το 7.

$$x=-\frac{16}{-40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{-40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-23±7}{-40} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -23.

$$x=-\frac{30}{-40}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{-40} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{3}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{2}{5} με το x_{1} και το \frac{3}{4} με το x_{2}.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{2}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{-5x+2}{-5}\times \frac{-4x+3}{-4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{-5x+2}{-5} επί \frac{-4x+3}{-4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{-5\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -5 επί -4.

$$-20x^{2}+23x-6=-20\times \frac{\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)}{20}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 20 σε -20 και 20.

$$-20x^{2}+23x-6=-\left(-5x+2\right)\left(-4x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2-5x\right)\left(4x-3\right)$$