Επίλυση f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Υπολογισμός

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Επειδή \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int t^{2}\mathrm{d}t με \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Επειδή \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int t\mathrm{d}t με \frac{t^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Διαφόριση ως προς x

$$x\left(x-1\right)$$