Επίλυση ex^2+3x+4=0

$$e x ^ { 2 } + 3 x + 4 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162+1,080283934i$$

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162-1,080283934i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με e, το b με 3 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4e\times 4}}{2e}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4e\times 4}}{2e}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί e.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\left(-4e\right)\times 4}}{2e}$$

Πολλαπλασιάστε το -4e επί 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16e}}{2e}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9-16e.

$$x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το i\sqrt{-\left(9-16e\right)}.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{-\left(9-16e\right)} από -3.

$$x=\frac{-i\sqrt{16e-9}-3}{2e}$$

Διαιρέστε το -3-i\sqrt{-9+16e} με το 2e.

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$ex^{2}+3x+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$ex^{2}+3x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με e.

$$\frac{ex^{2}+3x}{e}=-\frac{4}{e}$$

Η διαίρεση με το e αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το e.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x=-\frac{4}{e}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{e}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2e}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2e} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}=-\frac{4}{e}+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2e} στο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=-\frac{4}{e}+\frac{9}{4e^{2}}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{e} και το \frac{9}{4e^{2}}.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2e}=\frac{i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} x+\frac{3}{2e}=-\frac{i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2e} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$