Επίλυση a^2-5a-24=0

$$a ^ { 2 } - 5 a - 24 = 0$$

Λύση ως προς a

$$a=-3$$

$$a=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε a^{2}-5a-24 χρησιμοποιώντας τον τύπο a^{2}+\left(a+b\right)a+ab=\left(a+a\right)\left(a+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-8 b=3$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(a+a\right)\left(a+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(a-8\right)\left(a+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε a-8=0 και a+3=0.

$$a=8 a=-3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως a^{2}+aa+ba-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-8 b=3$$

Γράψτε πάλι το a^{2}-5a-24 ως \left(a^{2}-8a\right)+\left(3a-24\right).

$$\left(a^{2}-8a\right)+\left(3a-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε a στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$a\left(a-8\right)+3\left(a-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο a-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(a-8\right)\left(a+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε a-8=0 και a+3=0.

$$a=8 a=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a^{2}-5a-24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -5 και το c με -24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -24.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2}$$

Προσθέστε το 25 και το 96.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±11}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$a=\frac{5±11}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{5±11}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 11.

$$a=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$a=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{5±11}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 5.

$$a=-\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το -6 με το 2.

$$a=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$a=8 a=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$a^{2}-5a-24=0$$

Προσθέστε 24 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$a^{2}-5a-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Η αφαίρεση του -24 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$a^{2}-5a=-\left(-24\right)$$

Αφαιρέστε -24 από 0.

$$a^{2}-5a=24$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$a^{2}-5a+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$a^{2}-5a+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 24 και το \frac{25}{4}.

$$a^{2}-5a+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον a^{2}-5a+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$a-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} a-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$a=8 a=-3$$