Επίλυση Y_{1}=beta_{1}+beta_{2}Y_{2}+beta_{3}X_{1}+varepsilon

$$Y _ { 1 } = \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } Y _ { 2 } + \beta _ { 3 } X _ { 1 } + \varepsilon$$

Λύση ως προς X_1 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}X_{1}=-\frac{\epsilon +\beta _{1}+Y_{2}\beta _{2}-Y_{1}}{\beta _{3}}\text{, }&\beta _{3}\neq 0\\X_{1}\in \mathrm{C}\text{, }&Y_{1}=Y_{2}\beta _{2}+\beta _{1}+\epsilon \text{ and }\beta _{3}=0\end{matrix}\right,$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$\beta _{1}+\beta _{2}Y_{2}+\beta _{3}X_{1}+\epsilon =Y_{1}$$

Αφαιρέστε \beta _{1} και από τις δύο πλευρές.

$$\beta _{2}Y_{2}+\beta _{3}X_{1}+\epsilon =Y_{1}-\beta _{1}$$

Αφαιρέστε \beta _{2}Y_{2} και από τις δύο πλευρές.

$$\beta _{3}X_{1}+\epsilon =Y_{1}-\beta _{1}-\beta _{2}Y_{2}$$

Αφαιρέστε \epsilon και από τις δύο πλευρές.

$$\beta _{3}X_{1}=Y_{1}-\beta _{1}-\beta _{2}Y_{2}-\epsilon$$

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή.

$$\beta _{3}X_{1}=Y_{1}-Y_{2}\beta _{2}-\beta _{1}-\epsilon$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με \beta _{3}.

$$\frac{\beta _{3}X_{1}}{\beta _{3}}=\frac{Y_{1}-Y_{2}\beta _{2}-\beta _{1}-\epsilon }{\beta _{3}}$$

Η διαίρεση με το \beta _{3} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \beta _{3}.

$$X_{1}=\frac{Y_{1}-Y_{2}\beta _{2}-\beta _{1}-\epsilon }{\beta _{3}}$$

Λύση ως προς X_1

$$\left\{\begin{matrix}X_{1}=-\frac{\epsilon +\beta _{1}+Y_{2}\beta _{2}-Y_{1}}{\beta _{3}}\text{, }&\beta _{3}\neq 0\\X_{1}\in \mathrm{R}\text{, }&Y_{1}=Y_{2}\beta _{2}+\beta _{1}+\epsilon \text{ and }\beta _{3}=0\end{matrix}\right,$$

Βήματα για την επίλυση γραμμικής εξίσωσης

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$\beta _{1}+\beta _{2}Y_{2}+\beta _{3}X_{1}+\epsilon =Y_{1}$$

Αφαιρέστε \beta _{1} και από τις δύο πλευρές.

$$\beta _{2}Y_{2}+\beta _{3}X_{1}+\epsilon =Y_{1}-\beta _{1}$$

Αφαιρέστε \beta _{2}Y_{2} και από τις δύο πλευρές.

$$\beta _{3}X_{1}+\epsilon =Y_{1}-\beta _{1}-\beta _{2}Y_{2}$$

Αφαιρέστε \epsilon και από τις δύο πλευρές.

$$\beta _{3}X_{1}=Y_{1}-\beta _{1}-\beta _{2}Y_{2}-\epsilon$$

Η εξίσωση είναι σε τυπική μορφή.

$$\beta _{3}X_{1}=Y_{1}-Y_{2}\beta _{2}-\beta _{1}-\epsilon$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με \beta _{3}.

$$\frac{\beta _{3}X_{1}}{\beta _{3}}=\frac{Y_{1}-Y_{2}\beta _{2}-\beta _{1}-\epsilon }{\beta _{3}}$$

Η διαίρεση με το \beta _{3} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \beta _{3}.

$$X_{1}=\frac{Y_{1}-Y_{2}\beta _{2}-\beta _{1}-\epsilon }{\beta _{3}}$$

Λύση ως προς Y_1

$$Y_{1}=X_{1}\beta _{3}+Y_{2}\beta _{2}+\beta _{1}+\epsilon$$