Επίλυση Y^2-7Y+10=0

$$Y ^ { 2 } - 7 Y + 10 = 0$$

Λύση ως προς Y

$$Y=2$$

$$Y=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε Y^{2}-7Y+10 χρησιμοποιώντας τον τύπο Y^{2}+\left(a+b\right)Y+ab=\left(Y+a\right)\left(Y+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=10$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-5 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(Y+a\right)\left(Y+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε Y-5=0 και Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως Y^{2}+aY+bY+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-5 b=-2$$

Γράψτε πάλι το Y^{2}-7Y+10 ως \left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right).

$$\left(Y^{2}-5Y\right)+\left(-2Y+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε Y στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$Y\left(Y-5\right)-2\left(Y-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο Y-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(Y-5\right)\left(Y-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε Y-5=0 και Y-2=0.

$$Y=5 Y=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -7 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10}}{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2}$$

Προσθέστε το 49 και το -40.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$Y=\frac{-\left(-7\right)±3}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$Y=\frac{7±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση Y=\frac{7±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 3.

$$Y=\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το 10 με το 2.

$$Y=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση Y=\frac{7±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 7.

$$Y=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$Y=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$Y=5 Y=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$Y^{2}-7Y+10=0$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$Y^{2}-7Y+10-10=-10$$

Η αφαίρεση του 10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$Y^{2}-7Y=-10$$

Διαιρέστε το -7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$Y^{2}-7Y+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το -10 και το \frac{49}{4}.

$$Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον Y^{2}-7Y+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(Y-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$Y-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} Y-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$Y=5 Y=2$$