Επίλυση I ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-24t+143)dt

$$I ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - 24 t + 143 ) d t$$

Υπολογισμός

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int t^{2}-24t+143\mathrm{d}t$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -24t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Καθώς \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int t^{2}\mathrm{d}t με \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Καθώς \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int t\mathrm{d}t με \frac{t^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το -24 επί \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+\int 143\mathrm{d}t$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 143 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+143t$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{x^{3}}{3}-12x^{2}+143x-\left(\frac{0^{3}}{3}-12\times 0^{2}+143\times 0\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Διαφόριση ως προς x

$$\left(x-13\right)\left(x-11\right)$$