Επίλυση F(x)=22x^2+49x-15

$$F ( x ) = 22 x ^ { 2 } + 49 x - 15$$

Παράγοντας

$$\left(11x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 22x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=49 ab=22\left(-15\right)=-330$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -330.

$$-1,330 -2,165 -3,110 -5,66 -6,55 -10,33 -11,30 -15,22$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+330=329 -2+165=163 -3+110=107 -5+66=61 -6+55=49 -10+33=23 -11+30=19 -15+22=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 49.

$$a=-6 b=55$$

Γράψτε πάλι το 22x^{2}+49x-15 ως \left(22x^{2}-6x\right)+\left(55x-15\right).

$$\left(22x^{2}-6x\right)+\left(55x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(11x-3\right)+5\left(11x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 11x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(11x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$22x^{2}+49x-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\times 22\left(-15\right)}}{2\times 22}$$

Υψώστε το 49 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-4\times 22\left(-15\right)}}{2\times 22}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 22.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-88\left(-15\right)}}{2\times 22}$$

Πολλαπλασιάστε το -88 επί -15.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401+1320}}{2\times 22}$$

Προσθέστε το 2401 και το 1320.

$$x=\frac{-49±\sqrt{3721}}{2\times 22}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3721.

$$x=\frac{-49±61}{2\times 22}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 22.

$$x=\frac{-49±61}{44}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-49±61}{44} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -49 και το 61.

$$x=\frac{12}{44}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{44} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{3}{11}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-49±61}{44} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 61 από -49.

$$x=-\frac{110}{44}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-110}{44} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 22.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{11} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$22x^{2}+49x-15=22\left(x-\frac{3}{11}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$22x^{2}+49x-15=22\left(x-\frac{3}{11}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{11} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$22x^{2}+49x-15=22\times \frac{11x-3}{11}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$22x^{2}+49x-15=22\times \frac{11x-3}{11}\times \frac{2x+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{11x-3}{11} επί \frac{2x+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$22x^{2}+49x-15=22\times \frac{\left(11x-3\right)\left(2x+5\right)}{11\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 11 επί 2.

$$22x^{2}+49x-15=22\times \frac{\left(11x-3\right)\left(2x+5\right)}{22}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 22 σε 22 και 22.

$$22x^{2}+49x-15=\left(11x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(11x-3\right)\left(2x+5\right)$$