Επίλυση 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Παράγοντας

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 90m^{2}+am+bm-45. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -137.

$$a=-162 b=25$$

Γράψτε πάλι το 90m^{2}-137m-45 ως \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Παραγοντοποιήστε 18m στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5m-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Υψώστε το -137 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Πολλαπλασιάστε το -360 επί -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Προσθέστε το 18769 και το 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -137 είναι 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{137±187}{180} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 137 και το 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{324}{180} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{137±187}{180} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 187 από 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-50}{180} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{9}{5} με το x_{1} και το -\frac{5}{18} με το x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Αφαιρέστε m από \frac{9}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{18} και το m βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5m-9}{5} επί \frac{18m+5}{18} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 90 σε 90 και 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$