Επίλυση 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Λύση ως προς y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Συνδυάστε το 9y^{2} και το -y^{2} για να λάβετε 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2y^{2}+ay+by+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-2 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 2y^{2}-3y+1 ως \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2y στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-1=0 και 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Συνδυάστε το 9y^{2} και το -y^{2} για να λάβετε 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με -12 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 144 και το -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{12±4}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Διαιρέστε το 16 με το 16.

$$y=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{12±4}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Συνδυάστε το 9y^{2} και το -y^{2} για να λάβετε 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{2} και το \frac{9}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Παραγον y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$