Επίλυση 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -12 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 144 και το -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Διαιρέστε το 12+6\sqrt{2} με το 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6\sqrt{2} από 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Διαιρέστε το 12-6\sqrt{2} με το 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Η αφαίρεση του 2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{9} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Παραγοντοποιήστε το y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Προσθέστε \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$