Επίλυση 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 65 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx-65. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -24.

$$a=-39 b=15$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}-24x-65 ως \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-13=0 και 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}-24x=65$$

Αφαιρέστε 65 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Η αφαίρεση του 65 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -24 και το c με -65 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 576 και το 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±54}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{78}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±54}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 54 από 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Προσθέστε το \frac{65}{9} και το \frac{16}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Παραγον x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Προσθέστε \frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$