Επίλυση 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -14 και το c με -14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 196 και το 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Διαιρέστε το 14+10\sqrt{7} με το 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10\sqrt{7} από 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Διαιρέστε το 14-10\sqrt{7} με το 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Προσθέστε 14 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Η αφαίρεση του -14 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Αφαιρέστε -14 από 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{14}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{9}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{9} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Προσθέστε το \frac{14}{9} και το \frac{49}{81} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Προσθέστε \frac{7}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$