Επίλυση 9x^2+39x+42=

$$9 x ^ { 2 } + 39 x + 42 =$$

Παράγοντας

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(3x^{2}+13x+14\right)$$

Υπολογίστε 3x^{2}+13x+14. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=3\times 14=42$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=6 b=7$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+13x+14 ως \left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x+2\right)+7\left(x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}+39x+42=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 39 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-36\times 42}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 42.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-1512}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 1521 και το -1512.

$$x=\frac{-39±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-39±3}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-39±3}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-39±3}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -39 και το 3.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Διαιρέστε το -36 με το 18.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-39±3}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -39.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-42}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -2 με το x_{1} και το -\frac{7}{3} με το x_{2}.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\times \frac{3x+7}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 9 και 3.

$$9x^{2}+39x+42=3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$