Επίλυση 9x^2+3x+6=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 6 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6}\approx -0,166666667+0,799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,799305254i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}+3x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 3 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 6}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 6}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 6}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-216}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 9 και το -216.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-207}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -207.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 3i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{23}i}{18}$$

Διαιρέστε το -3+3i\sqrt{23} με το 18.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3i\sqrt{23} από -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i-3}{18}$$

Διαιρέστε το -3-3i\sqrt{23} με το 18.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+3x+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+3x+6-6=-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+3x=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{6}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{6}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{6}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{23}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$