Επίλυση 9x^2+18x+9=16

$$9 x ^ { 2 } + 18 x + 9 = 16$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+18x+9-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 9 για να λάβετε -7.

$$9x^{2}+18x-7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=18 ab=9\left(-7\right)=-63$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 18.

$$a=-3 b=21$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}+18x-7 ως \left(9x^{2}-3x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(21x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-1=0 και 3x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}+18x+9=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+18x+9-16=16-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+18x+9-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 9.

$$9x^{2}+18x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 18 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 9\left(-7\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 9\left(-7\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-36\left(-7\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -7.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+252}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 324 και το 252.

$$x=\frac{-18±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$x=\frac{-18±24}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-18±24}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±24}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -18 και το 24.

$$x=\frac{6}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-18±24}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από -18.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-42}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+18x+9=16$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+18x+9-9=16-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+18x=16-9$$

Αφαιρέστε 9 από 16.

$$9x^{2}+18x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+18x}{9}=\frac{7}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{18}{9}x=\frac{7}{9}$$

Διαιρέστε το 18 με το 9.

$$x^{2}+2x=\frac{7}{9}$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{7}{9}+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=\frac{7}{9}+1$$

Προσθέστε το \frac{7}{9} και το 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{16}{9}$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=\frac{4}{3} x+1=-\frac{4}{3}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{3}$$