Επίλυση 9x^2+14x+8=2x+4

$$9 x ^ { 2 } + 14 x + 8 = 2 x + 4$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+14x+8-2x=4$$

Συνδυάστε το 14x και το -2x για να λάβετε 12x.

$$9x^{2}+12x+8=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+12x+8-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 8 για να λάβετε 4.

$$9x^{2}+12x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=9\times 4=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=6 b=6$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}+12x+4 ως \left(9x^{2}+6x\right)+\left(6x+4\right).

$$\left(9x^{2}+6x\right)+\left(6x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(3x+2\right)+2\left(3x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+2\right)\left(3x+2\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(3x+2\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 3x+2=0.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+14x+8-2x=4$$

Συνδυάστε το 14x και το -2x για να λάβετε 12x.

$$9x^{2}+12x+8=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+12x+8-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 8 για να λάβετε 4.

$$9x^{2}+12x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 12 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 144 και το -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{12}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=-\frac{12}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+14x+8-2x=4$$

Συνδυάστε το 14x και το -2x για να λάβετε 12x.

$$9x^{2}+12x+8=4$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+12x=4-8$$

Αφαιρέστε 8 από 4 για να λάβετε -4.

$$9x^{2}+12x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{9} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{3}=0 x+\frac{2}{3}=0$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{2}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=-\frac{2}{3}$$