Επίλυση 9x^2+12x-24=0

$$9 x ^ { 2 } + 12 x - 24 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1,097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2,430500874$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 12 και το c με -24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -24.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+864}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 144 και το 864.

$$x=\frac{-12±\sqrt{1008}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1008.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 12\sqrt{7}.

$$x=\frac{12\sqrt{7}-12}{18}$$

Διαιρέστε το -12+12\sqrt{7} με το 18.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12\sqrt{7} από -12.

$$x=\frac{-12\sqrt{7}-12}{18}$$

Διαιρέστε το -12-12\sqrt{7} με το 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Προσθέστε 24 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+12x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Η αφαίρεση του -24 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+12x=-\left(-24\right)$$

Αφαιρέστε -24 από 0.

$$9x^{2}+12x=24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{24}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{24}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{24}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{24}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το \frac{8}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$