Επίλυση 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Λύση ως προς n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 3n^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Συνδυάστε το 9n^{2} και το -3n^{2} για να λάβετε 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6n^{2}+an+bn+20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -23.

$$a=-15 b=-8$$

Γράψτε πάλι το 6n^{2}-23n+20 ως \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3n στο πρώτο και στο -4 της δεύτερης ομάδας.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2n-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2n-5=0 και 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 3n^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Συνδυάστε το 9n^{2} και το -3n^{2} για να λάβετε 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -23 και το c με 20 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -23 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 529 και το -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -23 είναι 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{23±7}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 23 και το 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{23±7}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 3n^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Συνδυάστε το 9n^{2} και το -3n^{2} για να λάβετε 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{23}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{23}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{23}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{23}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Προσθέστε το -\frac{10}{3} και το \frac{529}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Παραγον n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Προσθέστε \frac{23}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$