Επίλυση 9n^2+36n+20

$$9 n ^ { 2 } + 36 n + 20$$

Παράγοντας

$$\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9n^{2}+an+bn+20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=36 ab=9\times 20=180$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 36.

$$a=6 b=30$$

Γράψτε πάλι το 9n^{2}+36n+20 ως \left(9n^{2}+6n\right)+\left(30n+20\right).

$$\left(9n^{2}+6n\right)+\left(30n+20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3n στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$3n\left(3n+2\right)+10\left(3n+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3n+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$9n^{2}+36n+20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 9\times 20}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 36 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 9\times 20}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$n=\frac{-36±\sqrt{1296-36\times 20}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 20.

$$n=\frac{-36±\sqrt{1296-720}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 1296 και το -720.

$$n=\frac{-36±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$n=\frac{-36±24}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$n=\frac{-36±24}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-36±24}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -36 και το 24.

$$n=-\frac{12}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$n=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-36±24}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από -36.

$$n=-\frac{60}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-60}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$n=-\frac{10}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{3} με το x_{1} και το -\frac{10}{3} με το x_{2}.

$$9n^{2}+36n+20=9\left(n-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$9n^{2}+36n+20=9\left(n+\frac{2}{3}\right)\left(n+\frac{10}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το n βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{3n+2}{3}\left(n+\frac{10}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{10}{3} και το n βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{3n+2}{3}\times \frac{3n+10}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3n+2}{3} επί \frac{3n+10}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)}{3\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 3.

$$9n^{2}+36n+20=9\times \frac{\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)}{9}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 9 σε 9 και 9.

$$9n^{2}+36n+20=\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3n+2\right)\left(3n+10\right)$$