Επίλυση 9X^2+12X=21

$$9 X ^ { 2 } + 12 X = 21$$

Λύση ως προς X

$$X = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$X=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές.

$$9X^{2}+12X-21=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$3X^{2}+4X-7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3X^{2}+aX+bX-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -21.

$$-1,21 -3,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-3 b=7$$

Γράψτε πάλι το 3X^{2}+4X-7 ως \left(3X^{2}-3X\right)+\left(7X-7\right).

$$\left(3X^{2}-3X\right)+\left(7X-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3X στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3X\left(X-1\right)+7\left(X-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο X-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(X-1\right)\left(3X+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε X-1=0 και 3X+7=0.

$$X=1 X=-\frac{7}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9X^{2}+12X=21$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9X^{2}+12X-21=21-21$$

Η αφαίρεση του 21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9X^{2}+12X-21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 12 και το c με -21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$X=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-21\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$X=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-21\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$X=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-21\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -21.

$$X=\frac{-12±\sqrt{144+756}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 144 και το 756.

$$X=\frac{-12±\sqrt{900}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 900.

$$X=\frac{-12±30}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$X=\frac{-12±30}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση X=\frac{-12±30}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 30.

$$X=\frac{18}{18}$$

Διαιρέστε το 18 με το 18.

$$X=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση X=\frac{-12±30}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 30 από -12.

$$X=-\frac{42}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-42}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$X=-\frac{7}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$X=1 X=-\frac{7}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9X^{2}+12X=21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9X^{2}+12X}{9}=\frac{21}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$X^{2}+\frac{12}{9}X=\frac{21}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$X^{2}+\frac{4}{3}X=\frac{21}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{21}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$X^{2}+\frac{4}{3}X=\frac{7}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$X^{2}+\frac{4}{3}X+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$X^{2}+\frac{4}{3}X+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το \frac{7}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$X^{2}+\frac{4}{3}X+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Παραγον X^{2}+\frac{4}{3}X+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(X+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(X+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$X+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} X+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$X=1 X=-\frac{7}{3}$$