Επίλυση 9(x-2)^2-16(x+1)^2=0

$$9 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 16 ( x + 1 ) ^ { 2 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

$$x=-10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 9 με το x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -16 με το x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -16x^{2} για να λάβετε -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Συνδυάστε το -36x και το -32x για να λάβετε -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 36 για να λάβετε 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -7x^{2}+ax+bx+20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-68 ab=-7\times 20=-140$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -140.

$$1,-140 2,-70 4,-35 5,-28 7,-20 10,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-140=-139 2-70=-68 4-35=-31 5-28=-23 7-20=-13 10-14=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -68.

$$a=2 b=-70$$

Γράψτε πάλι το -7x^{2}-68x+20 ως \left(-7x^{2}+2x\right)+\left(-70x+20\right).

$$\left(-7x^{2}+2x\right)+\left(-70x+20\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -10 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(7x-2\right)-10\left(7x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x-2\right)\left(-x-10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 7x-2=0 και -x-10=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-10$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 9 με το x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -16 με το x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -16x^{2} για να λάβετε -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Συνδυάστε το -36x και το -32x για να λάβετε -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 36 για να λάβετε 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -7, το b με -68 και το c με 20 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\left(-7\right)\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Υψώστε το -68 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-4\left(-7\right)\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -7.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624+28\times 20}}{2\left(-7\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 28 επί 20.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624+560}}{2\left(-7\right)}$$

Προσθέστε το 4624 και το 560.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{5184}}{2\left(-7\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 5184.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±72}{2\left(-7\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -68 είναι 68.

$$x=\frac{68±72}{2\left(-7\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -7.

$$x=\frac{68±72}{-14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{68±72}{-14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 68 και το 72.

$$x=\frac{140}{-14}$$

Διαιρέστε το 140 με το -14.

$$x=-10$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{68±72}{-14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 72 από 68.

$$x=-\frac{4}{-14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{-14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{2}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-10 x=\frac{2}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-2\right)^{2}.

$$9\left(x^{2}-4x+4\right)-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 9 με το x^{2}-4x+4.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x+1\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-36x+36-16\left(x^{2}+2x+1\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -16 με το x^{2}+2x+1.

$$9x^{2}-36x+36-16x^{2}-32x-16=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -16x^{2} για να λάβετε -7x^{2}.

$$-7x^{2}-36x+36-32x-16=0$$

Συνδυάστε το -36x και το -32x για να λάβετε -68x.

$$-7x^{2}-68x+36-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 36 για να λάβετε 20.

$$-7x^{2}-68x+20=0$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-7x^{2}-68x=-20$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -7.

$$\frac{-7x^{2}-68x}{-7}=-\frac{20}{-7}$$

Η διαίρεση με το -7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -7.

$$x^{2}+\left(-\frac{68}{-7}\right)x=-\frac{20}{-7}$$

Διαιρέστε το -68 με το -7.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x=-\frac{20}{-7}$$

Διαιρέστε το -20 με το -7.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x=\frac{20}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{68}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{34}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{34}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\left(\frac{34}{7}\right)^{2}=\frac{20}{7}+\left(\frac{34}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{34}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}=\frac{20}{7}+\frac{1156}{49}$$

Προσθέστε το \frac{20}{7} και το \frac{1156}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}=\frac{1296}{49}$$

Παραγον x^{2}+\frac{68}{7}x+\frac{1156}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{34}{7}\right)^{2}=\frac{1296}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{34}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1296}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{34}{7}=\frac{36}{7} x+\frac{34}{7}=-\frac{36}{7}$$

Αφαιρέστε \frac{34}{7} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{7} x=-10$$