Επίλυση 9(x+1)=sqrt{2x+5}

$$9 ( x + 1 ) = \sqrt { 2 x + 5 }$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2\left(\sqrt{61}-40\right)}{81}\approx -0,79480865$$

Βήματα λύσης

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(9\left(x+1\right)\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 9 με το x+1.

$$\left(9x+9\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(9x+9\right)^{2}.

$$81x^{2}+162x+81=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x+5}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x+5.

$$81x^{2}+162x+81=2x+5$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$81x^{2}+162x+81-2x=5$$

Συνδυάστε το 162x και το -2x για να λάβετε 160x.

$$81x^{2}+160x+81=5$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$81x^{2}+160x+81-5=0$$

Αφαιρέστε 5 από 81 για να λάβετε 76.

$$81x^{2}+160x+76=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 81, το b με 160 και το c με 76 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 81\times 76}}{2\times 81}$$

Υψώστε το 160 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 81\times 76}}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 81.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-324\times 76}}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το -324 επί 76.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-24624}}{2\times 81}$$

Προσθέστε το 25600 και το -24624.

$$x=\frac{-160±\sqrt{976}}{2\times 81}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 976.

$$x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 81.

$$x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -160 και το 4\sqrt{61}.

$$x=\frac{4\sqrt{61}-160}{162}$$

Διαιρέστε το -160+4\sqrt{61} με το 162.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{61} από -160.

$$x=\frac{-4\sqrt{61}-160}{162}$$

Διαιρέστε το -160-4\sqrt{61} με το 162.

$$x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81} x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{2\sqrt{61}-80}{81} στην εξίσωση 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5}.

$$9\left(\frac{2\sqrt{61}-80}{81}+1\right)=\sqrt{2\times \frac{2\sqrt{61}-80}{81}+5}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{-2\sqrt{61}-80}{81} στην εξίσωση 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5}.

$$9\left(\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}+1\right)=\sqrt{2\times \frac{-2\sqrt{61}-80}{81}+5}$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81} δεν ικανοποιεί την εξίσωση, επειδή η αριστερή και η δεξιά πλευρά έχουν αντίθετα σήματα.

$$-\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{9}$$

Η εξίσωση 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5} έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81}$$