Επίλυση 9x^2-8x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -8x+4=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9}\approx 0,444444444+0,496903995i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}\approx 0,444444444-0,496903995i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}-8x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -8 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36\times 4}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-144}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 64 και το -144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-80}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{8+4\sqrt{5}i}{18}$$

Διαιρέστε το 8+4i\sqrt{5} με το 18.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4\sqrt{5}i}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{5} από 8.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+8}{18}$$

Διαιρέστε το 8-4i\sqrt{5} με το 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-8x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}-8x+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}-8x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-8x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{9}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{9} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{16}{81}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{9} και το \frac{16}{81} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{20}{81}$$

Παραγον x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{20}{81}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{81}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{5}i}{9} x-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{5}i}{9}$$

Προσθέστε \frac{4}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{9}$$