Επίλυση 9x^2-12x-3=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x-3=0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 2}{3} \approx 1,54858377$$

$$x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}\approx -0,215250437$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}-12x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -12 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-3\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+108}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 144 και το 108.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{252}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 252.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{7}}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±6\sqrt{7}}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}+12}{18}$$

Διαιρέστε το 12+6\sqrt{7} με το 18.

$$x=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±6\sqrt{7}}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6\sqrt{7} από 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{7}}{18}$$

Διαιρέστε το 12-6\sqrt{7} με το 18.

$$x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{7}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}-12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 0.

$$9x^{2}-12x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{3}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{3}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Προσθέστε \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{7}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$$