Επίλυση 9x^2+24x+16=0

$$9 { x }^{ 2 } +24x+16=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9x^{2}+ax+bx+16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 24.

$$a=12 b=12$$

Γράψτε πάλι το 9x^{2}+24x+16 ως \left(9x^{2}+12x\right)+\left(12x+16\right).

$$\left(9x^{2}+12x\right)+\left(12x+16\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(3x+4\right)+4\left(3x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+4\right)\left(3x+4\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(3x+4\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 3x+4=0.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}+24x+16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 24 και το c με 16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 16.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 576 και το -576.

$$x=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{24}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+24x+16=0$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}+24x+16-16=-16$$

Η αφαίρεση του 16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}+24x=-16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{24}{9}x=-\frac{16}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{24}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Διαιρέστε το \frac{8}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{4}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{16}{9} και το \frac{16}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Παραγον x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{4}{3}=0 x+\frac{4}{3}=0$$

Αφαιρέστε \frac{4}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{4}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=-\frac{4}{3}$$