Επίλυση 9c^2-9c+2=0

$$9 { c }^{ 2 } -9c+2 = 0$$

Λύση ως προς c

$$c=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$c=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 9c^{2}+ac+bc+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=9\times 2=18$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-6 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 9c^{2}-9c+2 ως \left(9c^{2}-6c\right)+\left(-3c+2\right).

$$\left(9c^{2}-6c\right)+\left(-3c+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3c στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$3c\left(3c-2\right)-\left(3c-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3c-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3c-2\right)\left(3c-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3c-2=0 και 3c-1=0.

$$c=\frac{2}{3} c=\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9c^{2}-9c+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -9 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-36\times 2}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 2.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 81 και το -72.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$c=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$c=\frac{9±3}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$c=\frac{9±3}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση c=\frac{9±3}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 3.

$$c=\frac{12}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$c=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση c=\frac{9±3}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 9.

$$c=\frac{6}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$c=\frac{1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$c=\frac{2}{3} c=\frac{1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9c^{2}-9c+2=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9c^{2}-9c+2-2=-2$$

Η αφαίρεση του 2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9c^{2}-9c=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9c^{2}-9c}{9}=-\frac{2}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$c^{2}+\left(-\frac{9}{9}\right)c=-\frac{2}{9}$$

Διαιρέστε το -9 με το 9.

$$c^{2}-c=-\frac{2}{9}$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$c^{2}-c+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$c^{2}-c+\frac{1}{4}=-\frac{2}{9}+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{9} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$c^{2}-c+\frac{1}{4}=\frac{1}{36}$$

Παραγον c^{2}-c+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$c-\frac{1}{2}=\frac{1}{6} c-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$c=\frac{2}{3} c=\frac{1}{3}$$