Επίλυση 9*x^2-27*x-252=0

$$9 \cdot x ^ { 2 } - 27 \cdot x - 252 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-28. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-7 b=4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-3x-28 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -27 και το c με -252 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -27 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -252.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 729 και το 9072.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9801.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±99}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -27 είναι 27.

$$x=\frac{27±99}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{27±99}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±99}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 27 και το 99.

$$x=\frac{126}{18}$$

Διαιρέστε το 126 με το 18.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±99}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 99 από 27.

$$x=-\frac{72}{18}$$

Διαιρέστε το -72 με το 18.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-27x-252=0$$

Προσθέστε 252 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$9x^{2}-27x-252-\left(-252\right)=-\left(-252\right)$$

Η αφαίρεση του -252 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$9x^{2}-27x=-\left(-252\right)$$

Αφαιρέστε -252 από 0.

$$9x^{2}-27x=252$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-27x}{9}=\frac{252}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{9}\right)x=\frac{252}{9}$$

Διαιρέστε το -27 με το 9.

$$x^{2}-3x=\frac{252}{9}$$

Διαιρέστε το 252 με το 9.

$$x^{2}-3x=28$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 28 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-4$$