Επίλυση 9=49+x^2-13x

$$9 = 49 + x ^ { 2 } - 13 x$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$49+x^{2}-13x=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$49+x^{2}-13x-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 49 για να λάβετε 40.

$$40+x^{2}-13x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-13x+40=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-13x+40 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=40$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-8 b=-5$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-8\right)\left(x-5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x-5=0.

$$x=8 x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$49+x^{2}-13x=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$49+x^{2}-13x-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 49 για να λάβετε 40.

$$40+x^{2}-13x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-13x+40=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+40. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-13 ab=1\times 40=40$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -13.

$$a=-8 b=-5$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-13x+40 ως \left(x^{2}-8x\right)+\left(-5x+40\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-5x+40\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-8\right)-5\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(x-5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x-5=0.

$$x=8 x=5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$49+x^{2}-13x=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$49+x^{2}-13x-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 49 για να λάβετε 40.

$$40+x^{2}-13x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-13x+40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -13 και το c με 40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

Υψώστε το -13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 40}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 40.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-160}}{2}$$

Προσθέστε το 169 και το -160.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±3}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -13 είναι 13.

$$x=\frac{13±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 13 και το 3.

$$x=\frac{16}{2}$$

Διαιρέστε το 16 με το 2.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{13±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 13.

$$x=\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το 10 με το 2.

$$x=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$49+x^{2}-13x=9$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-13x=9-49$$

Αφαιρέστε 49 από 9 για να λάβετε -40.

$$x^{2}-13x=-40$$

Διαιρέστε το -13, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-40+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-40+\frac{169}{4}$$

Προσθέστε το -40 και το \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{13}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=5$$