Επίλυση 84x^2+70x-294

$$84 { x }^{ 2 } +70x-294$$

Παράγοντας

$$14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 14.

$$14\left(6x^{2}+5x-21\right)$$

Υπολογίστε 6x^{2}+5x-21. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=6\left(-21\right)=-126$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-9 b=14$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}+5x-21 ως \left(6x^{2}-9x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(14x-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$84x^{2}+70x-294=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 84\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Υψώστε το 70 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 84\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 84.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-336\left(-294\right)}}{2\times 84}$$

Πολλαπλασιάστε το -336 επί -294.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+98784}}{2\times 84}$$

Προσθέστε το 4900 και το 98784.

$$x=\frac{-70±\sqrt{103684}}{2\times 84}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 103684.

$$x=\frac{-70±322}{2\times 84}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 84.

$$x=\frac{-70±322}{168}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-70±322}{168} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -70 και το 322.

$$x=\frac{252}{168}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{252}{168} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 84.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-70±322}{168} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 322 από -70.

$$x=-\frac{392}{168}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-392}{168} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 56.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{2} με το x_{1} και το -\frac{7}{3} με το x_{2}.

$$84x^{2}+70x-294=84\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$84x^{2}+70x-294=84\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{2x-3}{2}\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{3x+7}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-3}{2} επί \frac{3x+7}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$84x^{2}+70x-294=84\times \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 84 και 6.

$$84x^{2}+70x-294=14\left(2x-3\right)\left(3x+7\right)$$

Υπολογισμός

$$84x^{2}+70x-294$$