Επίλυση 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Παράγοντας

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 81x^{2}+ax+bx+100. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 180.

$$a=90 b=90$$

Γράψτε πάλι το 81x^{2}+180x+100 ως \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 9x στην πρώτη και το 10 στη δεύτερη ομάδα.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 9x+10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Βήματα με χρήσης του τετραγώνου του διώνυμου

Αυτό το τριώνυμο έχει τη μορφή ενός τριωνυμικού τετραγώνου, πολλαπλασιασμένου ενδεχομένως με έναν κοινό παράγοντα. Τα τριωνυμικά τετράγωνα μπορούν να παραγοντοποιηθούν βρίσκοντας τις τετραγωνικές ρίζες του πρώτου και του τελευταίου όρου.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Βρείτε το μέγιστο κοινό παράγοντα των συντελεστών.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Βρείτε την τετραγωνική ρίζα του πρώτου όρου, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Βρείτε την τετραγωνική ρίζα του τελευταίου όρου, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Το τριωνυμικό τετράγωνο είναι το τετράγωνο του διωνύμου που είναι το άθροισμα ή η διαφορά των τετραγωνικών ριζών του πρώτου και του τελευταίου όρου, με το πρόσημο να καθορίζεται από το πρόσημο του μεσαίου όρου του τριωνυμικού τετραγώνου.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Υψώστε το 180 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το -324 επί 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Προσθέστε το 32400 και το -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{10}{9} με x_{1} και το -\frac{10}{9} με x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Προσθέστε το \frac{10}{9} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Προσθέστε το \frac{10}{9} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{9x+10}{9} επί \frac{9x+10}{9} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 9 επί 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Απαλοιφή του 81, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 81 και 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(9x+10\right)^{2}$$