Επίλυση 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Παράγοντας

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 81x^{2}+ax+bx+25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 90.

$$a=45 b=45$$

Γράψτε πάλι το 81x^{2}+90x+25 ως \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 9x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Βήματα με χρήσης του τετραγώνου του διώνυμου

Αυτό το τριώνυμο έχει τη μορφή ενός τριωνυμικού τετραγώνου, πολλαπλασιασμένου ενδεχομένως με έναν κοινό παράγοντα. Τα τριωνυμικά τετράγωνα μπορούν να παραγοντοποιηθούν βρίσκοντας τις τετραγωνικές ρίζες του πρώτου και του τελευταίου όρου.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Βρείτε το μέγιστο κοινό παράγοντα των συντελεστών.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Βρείτε την τετραγωνική ρίζα του πρώτου όρου, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Βρείτε την τετραγωνική ρίζα του τελευταίου όρου, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Το τριωνυμικό τετράγωνο είναι το τετράγωνο του διωνύμου που είναι το άθροισμα ή η διαφορά των τετραγωνικών ριζών του πρώτου και του τελευταίου όρου, με το πρόσημο να καθορίζεται από το πρόσημο του μεσαίου όρου του τριωνυμικού τετραγώνου.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Υψώστε το 90 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το -324 επί 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Προσθέστε το 8100 και το -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{5}{9} με το x_{1} και το -\frac{5}{9} με το x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{9} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{9} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{9x+5}{9} επί \frac{9x+5}{9} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 9 επί 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 81 σε 81 και 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(9x+5\right)^{2}$$