Επίλυση 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

Λύση ως προς y (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0,75-1,299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0,75+1,299038106i$$

Βήματα λύσης

Από το θεώρημα της ορθοΛογικής ρίζας, όλες οι ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου είναι στη μορφή \frac{p}{q}, όπου p διαιρεί τον σταθερό όρο -27 και q διαιρεί τον κορυφαίο συντελεστή 8. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$y=\frac{3}{2}$$

Κατά θεώρημα Factor, y-k είναι ένας παράγοντας του πολυωνύμου για κάθε ριζική k. Διαιρέστε το 8y^{3}-27 με το 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 για να λάβετε 4y^{2}+6y+9. Λύστε την εξίσωση όπου το αποτέλεσμα ισούται με 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 4 για a, 6 για b και 9 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Επιλύστε την εξίσωση 4y^{2}+6y+9=0 όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Λύση ως προς y

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα λύσης

Από το θεώρημα της ορθοΛογικής ρίζας, όλες οι ορθολογικές ρίζες ενός πολυωνύμου είναι στη μορφή \frac{p}{q}, όπου p διαιρεί τον σταθερό όρο -27 και q διαιρεί τον κορυφαίο συντελεστή 8. Λίστα όλων των υποψηφίων \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Βρείτε μία τέτοια ρίζα, δοκιμάζοντας όλες τις ακέραιες τιμές, ξεκινώντας από τη μικρότερη κατά απόλυτη τιμή. Αν δεν βρεθούν ακέραιες ρίζες, δοκιμάστε κλάσματα.

$$y=\frac{3}{2}$$

Κατά θεώρημα Factor, y-k είναι ένας παράγοντας του πολυωνύμου για κάθε ριζική k. Διαιρέστε το 8y^{3}-27 με το 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 για να λάβετε 4y^{2}+6y+9. Λύστε την εξίσωση όπου το αποτέλεσμα ισούται με 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 4 για a, 6 για b και 9 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Δεδομένου ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται σε πραγματικό πεδίο, δεν υπάρχουν λύσεις.

$$y\in \emptyset$$

Λίστα όλων των λύσεων που βρέθηκαν.

$$y=\frac{3}{2}$$