Επίλυση 8y^2+6y-9

$$8 y ^ { 2 } + 6 y - 9$$

Παράγοντας

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8y^{2}+ay+by-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=8\left(-9\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 6.

$$a=-6 b=12$$

Γράψτε πάλι το 8y^{2}+6y-9 ως \left(8y^{2}-6y\right)+\left(12y-9\right).

$$\left(8y^{2}-6y\right)+\left(12y-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2y στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2y\left(4y-3\right)+3\left(4y-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4y-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$8y^{2}+6y-9=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-32\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 36 και το 288.

$$y=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$y=\frac{-6±18}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$y=\frac{-6±18}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-6±18}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 18.

$$y=\frac{12}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-6±18}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από -6.

$$y=-\frac{24}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-24}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{4} με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$8y^{2}+6y-9=8\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$8y^{2}+6y-9=8\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{4y-3}{4}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{4y-3}{4}\times \frac{2y+3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4y-3}{4} επί \frac{2y+3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)}{4\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 2.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)}{8}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 8 σε 8 και 8.

$$8y^{2}+6y-9=\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$