Επίλυση 8x^2-9x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 9 x + 1 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-8 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}-9x+1 ως \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 8x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 8x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με -9 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 81 και το -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±7}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 7.

$$x=\frac{16}{16}$$

Διαιρέστε το 16 με το 16.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±7}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 9.

$$x=\frac{2}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8x^{2}-9x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{9}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{16} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{8} και το \frac{81}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Παραγον x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Προσθέστε \frac{9}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$