Επίλυση 8x^2-22x+12

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 12$$

Παράγοντας

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 2.

$$2\left(4x^{2}-11x+6\right)$$

Υπολογίστε 4x^{2}-11x+6. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-11 ab=4\times 6=24$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -11.

$$a=-8 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-11x+6 ως \left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην πρώτη και το -3 στη δεύτερη ομάδα.

$$4x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+12=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -22 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 12}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί 12.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-384}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 484 και το -384.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±10}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -22 είναι 22.

$$x=\frac{22±10}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{22±10}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±10}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 22 και το 10.

$$x=\frac{32}{16}$$

Διαιρέστε το 32 με το 16.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±10}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 22.

$$x=\frac{12}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 2 με x_{1} και το \frac{3}{4} με x_{2}.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\times \frac{4x-3}{4}$$

Απαλοιφή του 4, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 8 και 4.

$$8x^{2}-22x+12=2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Υπολογισμός

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$