Επίλυση 8x^2+26x+15

$$8 x ^ { 2 } + 26 x + 15$$

Παράγοντας

$$\left(2x+5\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 26.

$$a=6 b=20$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}+26x+15 ως \left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Υψώστε το 26 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί 15.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 676 και το -480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$x=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{-26±14}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-26±14}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -26 και το 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-26±14}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -26.

$$x=-\frac{40}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{3}{4} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$8x^{2}+26x+15=8\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$8x^{2}+26x+15=8\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{2x+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4x+3}{4} επί \frac{2x+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)}{4\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 2.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)}{8}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 8 σε 8 και 8.

$$8x^{2}+26x+15=\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x+5\right)\left(4x+3\right)$$