Επίλυση 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-4 b=14$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}+10x-7 ως \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-1=0 και 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με 10 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 100 και το 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±18}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±18}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-28}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Η αφαίρεση του -7 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Αφαιρέστε -7 από 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Προσθέστε το \frac{7}{8} και το \frac{25}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Παραγον x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$