Επίλυση 8v^2-21v-3=6

$$8 v ^ { 2 } - 21 v - 3 = 6$$

Λύση ως προς v

$$v=-\frac{3}{8}=-0,375$$

$$v=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$8v^{2}-21v-3-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από -3 για να λάβετε -9.

$$8v^{2}-21v-9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8v^{2}+av+bv-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-21 ab=8\left(-9\right)=-72$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -21.

$$a=-24 b=3$$

Γράψτε πάλι το 8v^{2}-21v-9 ως \left(8v^{2}-24v\right)+\left(3v-9\right).

$$\left(8v^{2}-24v\right)+\left(3v-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 8v στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$8v\left(v-3\right)+3\left(v-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο v-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(v-3\right)\left(8v+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε v-3=0 και 8v+3=0.

$$v=3 v=-\frac{3}{8}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8v^{2}-21v-3=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8v^{2}-21v-3-6=6-6$$

Η αφαίρεση του 6 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8v^{2}-21v-3-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από -3.

$$8v^{2}-21v-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με -21 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -21 στο τετράγωνο.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-32\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -9.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 441 και το 288.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$v=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -21 είναι 21.

$$v=\frac{21±27}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$v=\frac{21±27}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{21±27}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 21 και το 27.

$$v=\frac{48}{16}$$

Διαιρέστε το 48 με το 16.

$$v=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{21±27}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από 21.

$$v=-\frac{6}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$v=-\frac{3}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$v=3 v=-\frac{3}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8v^{2}-21v-3=6$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8v^{2}-21v-3-\left(-3\right)=6-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8v^{2}-21v=6-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 6.

$$8v^{2}-21v=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8v^{2}-21v}{8}=\frac{9}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$v^{2}-\frac{21}{8}v=\frac{9}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{21}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{21}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{21}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$v^{2}-\frac{21}{8}v+\left(-\frac{21}{16}\right)^{2}=\frac{9}{8}+\left(-\frac{21}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{21}{16} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$v^{2}-\frac{21}{8}v+\frac{441}{256}=\frac{9}{8}+\frac{441}{256}$$

Προσθέστε το \frac{9}{8} και το \frac{441}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$v^{2}-\frac{21}{8}v+\frac{441}{256}=\frac{729}{256}$$

Παραγον v^{2}-\frac{21}{8}v+\frac{441}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-\frac{21}{16}\right)^{2}=\frac{729}{256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(v-\frac{21}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{256}}$$

Απλοποιήστε.

$$v-\frac{21}{16}=\frac{27}{16} v-\frac{21}{16}=-\frac{27}{16}$$

Προσθέστε \frac{21}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$v=3 v=-\frac{3}{8}$$