Επίλυση 8n^2-4(1-2n)(2+8n)=0

$$8 n ^ { 2 } - 4 ( 1 - 2 n ) ( 2 + 8 n ) = 0$$

Λύση ως προς n

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9}\approx 0,462475296$$

$$n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}\approx -0,240253073$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε -1 και 4 για να λάβετε -4.

$$8n^{2}-4\left(1-2n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 1-2n.

$$8n^{2}+\left(-4+8n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4+8n με το 2+8n και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8n^{2}-8-16n+64n^{2}=0$$

Συνδυάστε το 8n^{2} και το 64n^{2} για να λάβετε 72n^{2}.

$$72n^{2}-8-16n=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$72n^{2}-16n-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 72, το b με -16 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 72\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

Υψώστε το -16 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 72\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 72.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-288\left(-8\right)}}{2\times 72}$$

Πολλαπλασιάστε το -288 επί -8.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+2304}}{2\times 72}$$

Προσθέστε το 256 και το 2304.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{2560}}{2\times 72}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2560.

$$n=\frac{-\left(-16\right)±16\sqrt{10}}{2\times 72}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -16 είναι 16.

$$n=\frac{16±16\sqrt{10}}{2\times 72}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 72.

$$n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 16 και το 16\sqrt{10}.

$$n=\frac{16\sqrt{10}+16}{144}$$

Διαιρέστε το 16+16\sqrt{10} με το 144.

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{16±16\sqrt{10}}{144} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16\sqrt{10} από 16.

$$n=\frac{16-16\sqrt{10}}{144}$$

Διαιρέστε το 16-16\sqrt{10} με το 144.

$$n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9} n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε -1 και 4 για να λάβετε -4.

$$8n^{2}-4\left(1-2n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το 1-2n.

$$8n^{2}+\left(-4+8n\right)\left(2+8n\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4+8n με το 2+8n και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$8n^{2}-8-16n+64n^{2}=0$$

Συνδυάστε το 8n^{2} και το 64n^{2} για να λάβετε 72n^{2}.

$$72n^{2}-8-16n=0$$

Προσθήκη 8 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$72n^{2}-16n=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 72.

$$\frac{72n^{2}-16n}{72}=\frac{8}{72}$$

Η διαίρεση με το 72 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 72.

$$n^{2}+\left(-\frac{16}{72}\right)n=\frac{8}{72}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{72} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n=\frac{8}{72}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{72} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n=\frac{1}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{9}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{9} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}$$

Προσθέστε το \frac{1}{9} και το \frac{1}{81} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}$$

Παραγον n^{2}-\frac{2}{9}n+\frac{1}{81}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{10}{81}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{81}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{1}{9}=\frac{\sqrt{10}}{9} n-\frac{1}{9}=-\frac{\sqrt{10}}{9}$$

Προσθέστε \frac{1}{9} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=\frac{\sqrt{10}+1}{9} n=\frac{1-\sqrt{10}}{9}$$