Επίλυση 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Παράγοντας

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-20 b=6$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}-14x-15 ως \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 196 και το 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±26}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±26}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{2} με x_{1} και το -\frac{3}{4} με x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-5}{2} επί \frac{4x+3}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Απαλοιφή του 8, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 8 και 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$