Επίλυση 8x^2+2x-3=0

$$8 { x }^{ 2 } +2x-3=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-4 b=6$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}+2x-3 ως \left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4x στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$4x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 2x-1=0 και 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με 2 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 4 και το 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{-2±10}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±10}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 10.

$$x=\frac{8}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±10}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από -2.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-12}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$8x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$8x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 0.

$$8x^{2}+2x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{3}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{3}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Προσθέστε το \frac{3}{8} και το \frac{1}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$