Επίλυση 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Παράγοντας

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 77r^{2}+ar+br-18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 45.

$$a=-21 b=66$$

Γράψτε πάλι το 77r^{2}+45r-18 ως \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7r στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 11r-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Υψώστε το 45 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Πολλαπλασιάστε το -308 επί -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Προσθέστε το 2025 και το 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-45±87}{154} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -45 και το 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{42}{154} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{-45±87}{154} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 87 από -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-132}{154} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{11} με το x_{1} και το -\frac{6}{7} με το x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Αφαιρέστε r από \frac{3}{11} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Προσθέστε το \frac{6}{7} και το r βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{11r-3}{11} επί \frac{7r+6}{7} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 11 επί 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 77 σε 77 και 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$