Επίλυση 75x^2-100x+25

$$75 x ^ { 2 } - 100 x + 25$$

Παράγοντας

$$25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 25.

$$25\left(3x^{2}-4x+1\right)$$

Υπολογίστε 3x^{2}-4x+1. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-3 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-4x+1 ως \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$75x^{2}-100x+25=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 75\times 25}}{2\times 75}$$

Υψώστε το -100 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 75\times 25}}{2\times 75}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 75.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-300\times 25}}{2\times 75}$$

Πολλαπλασιάστε το -300 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-7500}}{2\times 75}$$

Προσθέστε το 10000 και το -7500.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{2500}}{2\times 75}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2500.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±50}{2\times 75}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -100 είναι 100.

$$x=\frac{100±50}{2\times 75}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 75.

$$x=\frac{100±50}{150}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{100±50}{150} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 100 και το 50.

$$x=\frac{150}{150}$$

Διαιρέστε το 150 με το 150.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{100±50}{150} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 50 από 100.

$$x=\frac{50}{150}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{50}{150} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 50.

$$x=\frac{1}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με το x_{1} και το \frac{1}{3} με το x_{2}.

$$75x^{2}-100x+25=75\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$75x^{2}-100x+25=75\left(x-1\right)\times \frac{3x-1}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 75 και 3.

$$75x^{2}-100x+25=25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Υπολογισμός

$$25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$