Επίλυση 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 15x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-3 b=10$$

Γράψτε πάλι το 15x^{2}+7x-2 ως \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-1=0 και 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 75, το b με 35 και το c με -10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Υψώστε το 35 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Πολλαπλασιάστε το -300 επί -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Προσθέστε το 1225 και το 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-35±65}{150} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -35 και το 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{150} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-35±65}{150} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 65 από -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-100}{150} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Προσθέστε 10 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Η αφαίρεση του -10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Αφαιρέστε -10 από 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Η διαίρεση με το 75 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{35}{75} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{75} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{30}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{30} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{30} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Προσθέστε το \frac{2}{15} και το \frac{49}{900} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{30} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$